阶段定位：阶段一（力学基础）｜模块 M02 主题聚焦：运动学只负责”描述运动”而不问原因——位置、位移、速度、加速度的精确定义，以及唯一可以”预测未来”的特例：抛体运动 证据等级：本笔记支撑 Level A（直接测量：位置、时间）与 Level B（推导变量：位移、速度、加速度、跳跃高度） 知识来源：McGinnis《Biomechanics of Sport and Exercise》第 3 版，第 2 章 Linear Kinematics（线性运动学，教材第 51–86 页） 归档：
01_Biomechanics/Kinematics/
M02 Linear Kinematics 线性运动学
0. 大白话定义
运动学就是”给运动记账”，而且只记账、不查账。 它回答”动了多少、多快、在加速还是减速”，但不回答”为什么”——“为什么”是下一章动力学的事。
两个最容易混淆的日常词，在力学里必须分开：
- “跑了多远”≠“推进了多少”：橄榄球回跑手弯弯绕绕跑了 48 码，实际上只向前推进了 30 码。前者是路程（distance traveled），后者是位移（displacement）。
- “速度表上的数”≠“比赛成绩”：汽车速度表显示的是瞬时速度（instantaneous speed），而 100 米比赛的名次只看全程平均速度。博尔特 2009 年柏林世锦赛 9.58 s 夺冠的全程平均速度是 10.44 m/s，但他 60–70 m 区间的瞬时峰值达到了 12.35 m/s——取平均的时间窗越短，你看到的越接近”真相的细节”；窗越长，越接近”一个干巴巴的结果”。
对你的系统，这一章是整个特征工程（feature extraction）的概念地基：Peak、ROM、Time to peak、Velocity——每一个特征都是本章某个量的数字化版本。
1. Definition 定义
- 运动（motion）：位置随时间改变的过程。发生的两个前提：空间与时间。
- 运动三分类：
- 线运动（linear motion / translation 平移）：物体上所有点在相同时间沿相同方向移动相同距离，物体朝向不变。直的轨迹 = 直线平移（rectilinear translation）；弯的轨迹 = 曲线平移（curvilinear translation）。例：花样滑冰者保持姿势滑行。
- 角运动（angular motion / rotation 旋转）：物体上所有点绕同一固定轴做圆周（或圆弧）运动，物体朝向不断改变。例：单关节孤立活动的前臂屈伸、单杠大回环。
- 一般运动（general motion 混合运动）：线运动 + 角运动的组合。人体绝大多数动作都是一般运动——走路时躯干近似平移，靠的是髋膝踝的角运动组合出来的。
- 运动学（kinematics）：动力学（dynamics）中负责描述运动的分支，不追问运动的原因。
为什么分类重要：能把动作拆成线运动分量和角运动分量，就能分别套用线运动与角运动的力学定律分别分析，再合起来理解整体——这是”分解-分析-合成”的机械分析套路。
2. Formula 公式
| 公式 | 含义 |
|---|---|
| dy = Δy = yf − yi | 位移（displacement）= 末位置 − 初位置（矢量，含方向；x 方向同理） |
| s̄ = ℓ / Δt | 平均速度/平均速率（average speed）= 路程 ÷ 时间（标量） |
| v̄ = d / Δt | 平均速度矢量（average velocity）= 位移 ÷ 时间（矢量） |
| ā = Δv / Δt = (vf − vi) / Δt | 平均加速度（average acceleration）= 速度变化 ÷ 时间（矢量） |
| a = g = −9.81 m/s² | 抛体垂直加速度（向上为正时取负号） |
| vf = vi + gΔt | 抛体垂直末速度（速度随时间线性变化） |
| yf = yi + viΔt + ½g(Δt)² | 抛体垂直位置 |
| vf² = vi² + 2gΔy | 垂直速度-位移关系（消去时间） |
| vpeak = 0 | 抛体在最高点瞬时垂直速度为零 |
| Δtup = Δtdown（起落同高时） | 抛体上升时间 = 下落时间（对称性） |
| vx = 常数；ax = 0 | 抛体水平速度不变、水平加速度为零 |
| x = vxΔt | 抛体水平位移 |
平均 vs 瞬时（average vs instantaneous）：以上带横线的都是区间平均值；把测量区间缩到极短，就近似得到瞬时值。平均速度只保证”区间内某些时刻比它快、某些时刻比它慢”。
3. Physical Meaning 物理意义
- 位置（position） = 空间中的地点。描述位置必须先选定**固定参照点（origin 原点）**并建立笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）：一维运动一个数、二维两个数、三维三个数。坐标轴方向可任取方便方向，但多维时轴间必须互相垂直。
- 路程 vs 位移：路程是轨迹长度（标量，不含方向）；位移是初位置指向末位置的直线（矢量）。位移的分量往往比合位移更有意义——橄榄球回跑中”向前推进 30 码”（y 分量）才是教练关心的，合位移 31.6 码反而不直接说明问题。
- 速度（velocity）的方向独立于大小：匀速转弯时速度的大小（速率）没变，但方向在变——速度变了，就在加速。
- 加速度（acceleration）方向 ≠ 运动方向：这是本章最易错点。向北走并减速停下时，速度向北、加速度向南。规律只有一句：加速与运动同向 = 越来越快；加速与运动反向 = 越来越慢；匀速 = 加速度为零。正负号规则（先规定正方向）：正向加速 + + → +；正向减速 − + → −；负向加速 + − → −；负向减速 − − → +。
- 抛体（projectile）：只受重力（忽略空气阻力）的空中物体。三个核心性质：
- 垂直方向：匀加速 g 向下，速度线性变化，位置按抛物线变化；
- 水平方向：无力则无加速度，水平速度恒定；
- 水平与垂直运动互相独立（桌边硬币实验：水平弹出的硬币与自由落下的硬币同时落地）——合轨迹为抛物线。
- 初始条件决定一切：抛体离手（或离地）瞬间的位置与速度，就完全决定了之后的轨迹与飞行时间。离手之后，谁都改不了。
4. Human Movement Meaning 人体运动意义
- 人体本身常常是抛体：跑步腾空期、跳跃、跳水、体操空翻——离地后运动员无法改变自己质心的轨迹。拦网队员向左起跳，就无法在空中改去右边；跳远者离板后任何空中动作都不能增加水平速度。在落地/变向类动作中，着地瞬间看到的很多问题（膝外翻、躯干位置），其”剧本”在离地瞬间的初始条件里就写好了——这是连接 Krosshaug 2007 损伤视频分析的直觉桥梁。
- 运动学描述的是可观测的现实：比赛名次（平均速度）、步速、摆臂频率、关节活动范围——全都是运动学量，不依赖任何力学模型即可测量。
- 足球射门与反应时间：105 mi/h（47 m/s）的棒球投球，击球手只有约 0.38 s 反应——速度之所以是运动表现的核心变量，是因为它直接压缩对手的可用时间。
- 抛体三目标与出手策略：
- 要最长飞行时间/最高高度 → 垂直初速度最大化，出手角 > 45°（排球二传、体操）；
- 要最短飞行时间 → 垂直初速度最小甚至向下，出手角 < 45°（扣球、平抽）；
- 要最远水平距离 → 合速度最大化 + 出手略低于 45°。45° 最优只在”出手高度 = 落点高度且合速度与角度无关”时成立；铅球出手高度超过 2 m 且低角度能发出更大的合速度，所以世锦赛奖牌选手平均出手角约 35°；标枪/铁饼因空气升力角度更低。理论最优值必须按现实条件修正——这是”不要照搬常模”的第一课。
- 由飞行时间反推跳跃高度（本章方程的直接推导应用）：竖直跳起落的飞行时间 Δt 满足 Δtup = Δt/2，由 yf = ½g(Δtup)² 得跳跃高度 h = g(Δt)²/8，起跳垂直速度 vi = gΔt/2。例：飞行 0.5 s → h ≈ 0.31 m、vi ≈ 2.45 m/s。只用一块秒表（或一段视频）就能估算 Capacity 轴的核心指标——这是运动学”低成本测量”的范例。
5. How It Is Measured 如何测量
| 概念 | 测量方式 | 备注 |
|---|---|---|
| 位置/位移 | 视频数字化（video digitizing，教材配套 MaxTRAQ 练习即此）、2D/3D 动捕、IMU（间接） | 需已知比例尺（scaling/calibration）把像素换算成米 |
| 时间 | 帧率换算（帧号 ÷ 帧率）、秒表、分段计时（split times） | 视频帧率决定时间分辨率 |
| 平均速度 | 位移 ÷ 区间时间（博尔特每 10 m 分段即此） | 区间越短越接近瞬时 |
| 瞬时速度/加速度 | 位置数据数值微分 | 微分会放大噪声——这是 Winter 第 2、3 章信号处理要解决的问题，此处先记住这个隐患 |
| 步幅（stride length）/步频（stride rate） | 视频中标定足尖触地/离地事件，量坐标差与时间差 | 教材 MaxTRAQ 练习的完整流程，正是你原型中事件检测（event detection）的雏形 |
6. Typical Applications 典型应用
- 短跑分段分析：用 10 m 分段速度定位运动员的最高速度区间与减速区间（柏林世锦赛 Bolt vs Gay：两人均在 60–70 m 达峰 12.35 m/s，70 m 后均减速，Gay 末段减速更多）。
- 步态时空参数：步长、步频、步速 = 临床步态评估的三大基础量。
- 飞行时间法测跳跃高度（见第 4 节公式推导）。
- 出手/起跳角度评估：将实测出手角与任务最优角对比（修正后的最优，而非教科书 45°）。
- 足球罚点球：22 m/s 水平速度飞 11 m → 0.5 s 到达，为守门员反应时间建模。
7. Clinical Relevance 临床关联
- Function 功能轴的直接来源：步行速度、任务完成时间、步长、步频——全部是本章定义的运动学量，无需任何动力学设备即可获得。
- “平均 vs 瞬时”决定你报告的粒度：对患者说”步行速度 1.1 m/s”是平均量；但跌倒风险可能藏在某一步的瞬时减速里。系统输出特征时，必须同时保留区间平均与关键瞬时值（峰值、达峰时间）。
- 着地问题的”初始条件”思维：康复患者落地姿势异常，干预窗口其实在起跳/离地瞬间；着地后的轨迹已不可控。这直接影响”在哪一相位采集特征才有干预价值”的设计决策。
- 步频/步幅分解：同样的步行速度可以由”小步高频”或”大步低频”达成——两个患者速度相同，策略可能完全不同，这正是 Strategy 策略轴存在的理由。
8. Performance Relevance 运动表现关联
- 最高速度区间与减速管理能力是短跑选材/训练的关键指标（谁在最后 20 m 减速更少）。
- 助跑速度是跳跃类项目的首要决定因素（更快的跳远者跳得更远）。
- 球速压缩防守反应时间：射门、发球、扣杀的有效性都与球速正相关（教材表 2.3 列出各项目最快球速，高尔夫球 91 m/s 居首）。
- 起跳角/出手角是可训练的技术变量，但必须按个体释放高度与速度能力修正最优值。
9. Possible Interpretations 可能的解释
- “平均速度相同”≠“运动相同”：可能是匀速，也可能是”快-慢交替”；可能步幅大频率低，也可能步幅小频率高——必须看分段数据与时空分解。
- “末段减速”可能是能力不足（速度耐力差），也可能是策略性保留，还可能是疲劳或疼痛的早期信号——单靠运动学无法区分，需要结合负荷、疲劳与主诉信息（多机制并存的范例）。
- “腾空时间长”可能是跳得高（垂直速度大），也可能是起落点高度差（从高处跳向低处）——比较前必须统一任务条件（Task reference 任务参照的雏形）。
- “患者步速下降”：Function 下降是观察；背后是步幅缩短还是步频下降，是两个不同的 Strategy 故事，指向不同的机制假设。
10. What It Cannot Tell Us 它不能告诉我们什么
- 运动学不知道”为什么”：膝屈曲减少是观察，原因是疼痛回避、力量不足还是策略选择，运动学本身无法回答（Observation ≠ Mechanism，机制推理框架的第一原则）。
- 抛体方程的边界：只适用于只受重力的自由飞行；人体在支撑期、器械（标枪/铁饼/飞盘）受空气动力显著时均不适用。落地瞬间的”空中无法控制”结论也不能反推”地面动作已注定”——支撑期恰是改变发生的地方。
- 平均量掩盖瞬时风险：全程平均速度正常，不保证没有某一步的异常峰值或减速。
- 视频/坐标测量有精度上限：比例尺标定误差、帧率限制、数字化者判读差异都会进入最终的速度/加速度值（呼应 Krosshaug 2007：肉眼估计膝屈曲平均低估约 19°——测量方法决定推断上限）。
- 理论最优角 ≠ 个体最优：45° 之类的理论值附带着隐含假设（出手高度、空气阻力、合速度不变），直接套用到个体是过度解释。
11. Related Metrics 相关指标
- M01_Force与静力平衡（加速度是力与运动之间的桥梁量：F = ma 的 a 就在这里）
- M03_冲量与动量（速度变化的原因）
- M06_角运动学（本章全部概念的角运动版本）
- M19_运动学测量系统对比（Winter 第 3 章：位置数据如何采集与平滑）
- 步速（walking speed）、步长（step length）、步频（cadence）、ROM、Peak velocity、Time to peak（
07_Metrics/）
12. Evidence 证据
- 本笔记全部概念、公式、数据示例（博尔特/盖伊分段数据、最快球速表、铅球出手角约 35°、棒球反应时间 0.38 s 等）来自 McGinnis 第 3 版第 2 章（见笔记开头”知识来源”）；课后习题答案见教材附录 B。
- 教材配套 MaxTRAQ 视频分析练习需要随书软件与视频文件 [补充说明：未随 PDF 附带，实操时可用任意视频数字化工具（如 Kinovea）替代完成同等练习]。
- 飞行时间法测跳跃高度的公式（h = gΔt²/8）为本章抛体方程的直接代数推导，非教材原文给出的应用公式。
13. My Understanding 我的理解
这一章给了你系统的”词汇表”，但更重要的是三条研究纪律：
- 描述先于解释。 你的原型第一层的全部工作就是把”位置、时间”忠实地变成”位移、速度、加速度、ROM、峰值”——这个层次不做任何机制判断。运动学之所以是 Function 和 Strategy 两轴的地基，正因为它”只管描述、不做解释”，证据等级最干净。
- 区间选择就是分析选择。 平均 vs 瞬时、全程 vs 分段、合量 vs 分量——同一个动作，切开的方式不同，看到的故事就不同。将来设计特征提取时，“为什么选这个窗长、为什么报告这个分量”都必须能回答。
- 初始条件思维。 抛体”离手即定局”的事实，推广到临床就是：动作的每个相位都被前一个相位的输出约束。分析深蹲底部姿势，要回看下降期；分析落地，要回看起跳。这是事件检测（event detection）为什么要先于特征提取的根本原因——切错相位，后面全错。
模块自测（附答案）
1. 请各举一个人体动作例子说明：直线平移、曲线平移、角运动、一般运动，并说明步态属于哪一类、为什么。
直线平移：滑冰者直立姿势沿直线滑行（身体朝向不变、轨迹为直线）。曲线平移：跳台滑雪者飞行阶段（身体朝向基本不变、轨迹为曲线）。角运动：单杠大回环（绕杠这个体外固定轴旋转），或孤立屈伸前臂（绕肘关节这个体内轴旋转）。一般运动：跑步、走路、骑自行车。步态属于一般运动——躯干近似直线平移，但它是靠髋、膝、踝的角运动组合产生的；上肢摆臂也是角运动。
2. 一名游泳者在 50 m 泳池进行 100 m 比赛，50 s 完成。他的平均速度和平均速度矢量分别是多少？为什么两个数一个有意义一个没意义？
平均速率（average speed）= 路程 ÷ 时间 = 100 m ÷ 50 s = 2.0 m/s。平均速度矢量（average velocity）= 位移 ÷ 时间 = 0 ÷ 50 s = 0 m/s，因为起点和终点在同一位置（50 m 池需折返），位移为零。此例中运动方向发生折返变化，位移不能反映运动付出，所以平均速率才是有意义的描述；平均速度矢量为零显然不能说明”他没动”。
3. 博尔特全程平均速度 10.44 m/s，但 60–70 m 区间平均速度 12.35 m/s。哪个更接近他的瞬时最高速度？为什么？由这个例子说明”平均区间”与”估计精度”的关系。
60–70 m 区间的 12.35 m/s 更接近瞬时最高速度。全程平均把加速期（慢）与高速期（快）混在一起拉平；区间越短，区间内速度波动越小，平均值就越接近区间内任一瞬时的真实速度。一般规律：平均值只是区间的代表值，区间内必有时刻快于它、也有时刻慢于它；要逼近瞬时速度，就得缩短测量区间——代价是对计时/测距精度要求更高。
4. 患者沿直线向前走并缓缓停下。在停下前的瞬间，他的速度方向与加速度方向各朝哪？请用本章符号规则说明。
规定前进方向为正。患者向前减速：速度仍为正（还在向前运动），但速度大小在减小，即 Δv 为负，故加速度为负（方向朝后）。这正体现”运动方向 ≠ 加速度方向”：减速时加速度与运动方向相反。只有当患者停下后再向后退并加速时，速度与加速度才同为负。
5. 排球二传手在 2 m 高度离手，球垂直初速度 5 m/s 向上。球能到达的最大高度是多少？（用 vf² = vi² + 2gΔy）
最高点垂直速度 vpeak = 0。由 0 = (5)² + 2(−9.81)Δy，得 Δy = 25 ÷ 19.62 ≈ 1.27 m。最大高度 = 2 + 1.27 = 3.27 m。
6. 一名患者纵跳飞行时间为 0.50 s。只用这个数，估算他的跳跃高度与起跳垂直速度，并写出推导。这个测量思路对你的系统有什么价值？
起落同高假设下，上升时间 = 下落时间 = 0.25 s。下落段为自由落体：h = ½g(0.25)² = ½ × 9.81 × 0.0625 ≈ 0.31 m。起跳垂直速度 = 上升到最高点减速为零所需：vi = g × 0.25 ≈ 2.45 m/s（等价于 h = gΔt²/8 = 9.81 × 0.25/8）。 价值：跳跃高度是 Capacity 能力轴的核心指标，而该方法只需要一个时间量——用普通视频（数帧）甚至手机就能获得，不依赖力台。它是”低成本运动学测量”的代表，也说明 Function/Capacity 的部分指标在简陋设备下依然可测——但注意它依赖”起落同高、空中姿态不变”的假设，落地姿势改变（如收腿）会系统性地高估或低估。
7. 铅球世界顶尖选手出手角平均约 35°，明显低于理论最优 45°。请给出本章提供的两个解释。
① 出手高度：铅球在 2 m 以上高度离手，落点低于出手点，飞行时间部分由高度”免费”提供，不必全靠垂直初速度换取，因此可把更多投入放在水平速度上，最优角随出手高度增加而降低。② 合速度并非常数：45° 最优假设”合速度与出手角无关”，但人体水平加速物体比垂直向上加速更容易，出手角越低能发出的合速度越大，进一步压低最优角。（铁饼/标枪角度更低还有第三个因素：空气升力延长飞行时间。）
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