模块定位：所有生物力学变量——无论运动学、动力学还是 EMG——都是时变信号，必须先按信号处理的规矩”洗干净”才配进入分析。本模块覆盖两大类工具：相关分析（信号与自己/他人在时间上的相似性）和频谱分析（信号由哪些频率成分构成）。它们是后续采样率决策、滤波设计（M19）、EMG 处理与步态流水线（M20 实操）的共同地基。
0. 大白话定义
相关分析就是拿一把”相似度尺子”在时间上滑动：自相关是信号跟”几分钟前的自己”比，看动作里藏着什么节奏；互相关是两个信号错位着比，看谁先动、谁后动、差多少毫秒。
频谱分析是把一段波形”拆音”：任何复杂动作曲线都像和弦一样由若干不同频率的正弦波叠加而成，傅里叶变换负责把每个音的音量和相位测出来。知道信号的频率构成后，你才能回答两个极其实际的问题——采样要多快（采慢了会录进假频率）和滤波切在哪（切错了要么留噪声、要么毁信号）。
1. Definition 定义（术语表）
| 术语 | 英文 | 定义 |
|---|---|---|
| 自相关函数 | Autocorrelation, Rxx(τ) | 信号 x(t) 与自身相移 τ 后的相似度序列；τ 取遍正负值得一条相关曲线而非单个系数 |
| 互相关函数 | Cross-correlation, Rxy(τ) | 两个独立时间序列 x(t)、y(t) 在不同相移 τ 下的相似度序列 |
| 相移 | Phase shift, τ | 计算相关时将一条序列沿时间轴前后平移的量；相关函数是 τ 的函数 |
| 皮尔逊相关 | Pearson product-moment correlation | 两个变量去均值后乘积之和除以各自标准差，归一化为 −1∼+1 的无量纲系数；自/互相关是它在时间序列上的推广 |
| 白噪声 | White noise | 任意时刻取值与前后时刻取值零相关的随机信号；自相关为 τ=0 处的脉冲；频谱在全频段平坦 |
| 频谱 | Spectrum | 信号所含各次谐波的幅值（或功率）随频率的分布图，亦称谐波图、谱密度函数 |
| 基频与谐波 | Fundamental & harmonics | 周期信号可分解为基频 f₀ 的整数倍成分，n 次谐波频率为 n·f₀ |
| 傅里叶级数/变换 | Fourier series / transform | 将信号表示为直流分量 + 各次谐波正弦/余弦加权和的数学工具（1807 年 Fourier 提出） |
| 离散傅里叶变换 | Discrete Fourier Transform (DFT) | 傅里叶变换的数字形式；N 点数据需约 N² 次运算 |
| 快速傅里叶变换 | Fast Fourier Transform (FFT) | 利用奇偶分解（Danielson-Lanczos 引理）与查表法把运算量降到 N·log₂N 的算法；要求数据长度为 2 的幂 |
| 奈奎斯特频率 | Nyquist frequency | 采样率的一半；可分析的最高谐波对应每周期 2 个采样点 |
| 混叠 | Aliasing | 采样率不足信号最高频率 2 倍时产生的假频率误差 |
| 采样定理 | Sampling theorem | 采样频率必须至少为信号最高频率的 2 倍 |
| 模数转换 | Analog-to-digital conversion (A/D) | 模拟信号经采样/保持电路与数字编码器转为二进制字存入计算机的过程 |
| 低通滤波器 | Low-pass filter | 不衰减通过低频、在截止频率 fc 以上强烈衰减的滤波器；fc 处响应为 0.707（半功率点） |
| 递归数字滤波器 | Recursive digital filter | 输出 = 当前与历史原始数据的加权和 + 历史滤波输出的加权和（式 2.18） |
| 截止频率 | Cutoff frequency, fc | 滤波器增益降至 0.707 的频率；选择 fc 是保信号与去噪声的折中 |
| 相干函数 | Coherence function | 由互谱密度算出的两信号共有频率成分度量；用于估计无法主动控制输入的系统的传递函数 |
| 循环相关 | Circular correlation | 对周期信号（如步态）将序列首尾环绕相接计算相关，使全部数据点都可用 |
2. 核心公式与框架
2.1 自相关与互相关（式 2.2、2.3）
Rxx(τ) = (1/T) ∫₀ᵀ x(t)·x(t+τ) dt / Rxx(0) （x(t) 均值为零）
Rxy(τ) = (1/T) ∫₀ᵀ x(t)·y(t+τ) dt / √(Rxx(0)·Ryy(0))
与皮尔逊公式（式 2.1）的同构：积分号替代求和号，除以 T 替代除以 N，分母归一化到 −1∼+1。关键区别：皮尔逊给出单个系数，相关函数给出随 τ 变化的一整条曲线。
数字实现（式 2.8、2.9）：采样序列去均值后逐点乘加。注意——若数据 1000 点、要求 τ = ±100，则只有 800 个交叉乘积可用（N 须设为 800）；周期信号可用循环相关保留全部数据。
皮尔逊系数的一个统计提醒：有限样本下相关系数有估计误差，t 统计量随样本数 n 增大而增大——同样的 r，数据点越多越容易达到显著（式 2.1 节讨论）。
2.2 自相关四性质（含推导结论）
| # | 性质 | 要点 |
|---|---|---|
| 1 | Rxx(0) 是最大值 | Rxx(0) 即 x(t) 的均方值；由 ∫[x(t)−x(t−τ)]²dt ≥ 0 展开即证 Rxx(0) ≥ Rxx(τ) |
| 2 | 偶函数 | Rxx(τ) = Rxx(−τ)，只需计算正相移一侧 |
| 3 | 周期信号的自相关仍周期，但相位信息丢失 | x(t)=E·sin(ωt) → Rxx(τ)=(E²/2)cos(ωτ)；可用于检测埋在白噪声中的周期成分：x = s + n → Rxx = Rss + Rnn，信号与噪声不相关故交叉项为零 |
| 4 | 自相关含频率信息 | 功率谱密度 = 自相关的傅里叶变换；低频信号 Rxx 缓慢过零，高频信号迅速归零 |
实用推论：正弦波自相关的第一个过零点在 1/4 周期处，可用首过零点估计信号平均频率。
2.3 互相关三性质
| # | 性质 | 要点 |
|---|---|---|
| 1 | 不是偶函数 | 两个不同信号正、负方向平移的交叉乘积不同，Rxy(τ) ≠ Rxy(−τ) |
| 2 | 峰值不必在 τ = 0 | 峰值位置 = 两信号最同相（或最反相）的时移 → 测时间延迟的利器；如正弦与余弦在 τ=0 处相关为 0，前移 90° 得 +1，后移 90° 得 −1 |
| 3 | 傅里叶变换 = 互谱密度 | 进而算相干函数，用于估计”输入频率不可控”系统的传递函数（如以 EMG 为输入、肌力为输出的肌肉传递函数，Bobet & Norman, 1990） |
传导速度测量范式：刺激信号在 S1、S2 两处（间距 d）记录，互相关峰值位于 τ₁ = t，则传导速度 V = d / t（Figure 2.5）。
2.4 去均值偏置（2.1.5，易错点）
互相关前必须去除两信号的直流偏置（均值）。若 x = s₁ + m₁、y = s₂ + m₂，则 Rxy = 真实互相关 + m₁·m₂ 常数项——峰值会被严重夸大。多数商业软件自动去均值，自写程序必须手动处理。
2.5 傅里叶分析（式 2.10–2.17）
- 任意周期信号：V(t) = Vdc + V₁sin(ω₀t+θ₁) + V₂sin(2ω₀t+θ₂) + …（式 2.10）。方波只含奇次谐波（式 2.11），三角波含特定系数级数（式 2.12）。
- 周期信号 → 离散谱；非周期信号 → f₁∼f₂ 的连续谱。
- 系数 an、bn 是整个分析期 T 上的平均值（式 2.13–2.15）——这是频谱分析最重要的解释警告：某谐波只在 T 的一部分存在，计算机也按全程平均返回。
- 数字 DFT：每个谐波 N 次运算，谐波数至 N/2（奈奎斯特），总运算量 N²；主要开销是查正弦/余弦值。
2.6 FFT（2.2.3）
- Danielson-Lanczos 引理（1942）：长度 N 的 DFT 可拆成奇、偶两个 N/2 子问题，逐层递归 → 数据长度必须是 2 的幂。1000 点数据只能用 512 点（浪费 488 点）——采集时就应按 1024 等二进制长度设计。
- Cooley & Tukey（1965，IBM）给出最常用算法；查表法避免重复计算正余弦，运算量 N·log₂N。
- 算例：N = 65,536、1 GHz CPU（1 ns/周期）：DFT 需 4.29 s，FFT 仅需 0.001 s——约 4000 倍差距。
2.7 频谱分析的四大应用决策（2.2.4）
(a) A/D 转换：模拟信号 → 采样/保持 → 数字编码。16 位 = 65,536 个幅值等级；100 Hz 采 5 秒 = 500 个数据字。
(b) 采样率——采样定理：fs ≥ 2×信号最高频率，否则混叠（Figure 2.12：低频信号与欠采样高频信号产生完全相同的采样点）。
- 步态案例：50 Hz 与 25 Hz 采样对比，足部加速度曲线仅峰值处有可见差异（Figure 2.13）；换算成髋力矩后差异可忽略（Figure 2.14），因为关节反作用力主导净力矩、惯性贡献很小（Winter, 1982）。
- 结论：步行等慢速运动 24 fps 相机足够；短跑、投掷等快速运动需更高帧率。采样率够不够的判据不在曲线本身，而在你的最终分析目标。
(c) 记录长度——由最低频率决定：
- 周期运动：最低频率 = 步频。105 步/分 → 1.75 步/秒 → 0.875 步态周期/秒 → 基频 0.875 Hz。
- 非周期”运动”（如安静站立）：建模为倒摆（Gage et al., 2004），比较 COM 与测力台 COP。137 秒记录（8192 点 @ 60 Hz）的 FFT 显示 COM/COP 主成分低于 0.2 Hz → 记录至少 1 分钟（Carpenter et al., 2001 的可靠性结论）；平衡障碍患者可能站不了这么久，是实际困难。
(d) 滤波——信号与噪声的频谱分离：
- 信号通常在低频、噪声在高频，但两者有重叠区（Figure 2.16）。fc 太高 → 噪声漏过；fc 太低 → 信号失真。更陡的滤波器改善折中，代价是更复杂、更耗时。
- 证据：20 名受试者步行时足尖标记点垂直位移的谐波分析（Winter et al., 1974）——99.7% 信号功率集中在 7 次谐波以下（< 6 Hz），以上呈”噪声”特征（光电设备电子噪声、扫描/数字化空间精度、标记点重建误差）。故步行数据低通截止设约 6 Hz。
- 递归数字滤波器（式 2.18）：X₁(nT) = a₀X(nT) + a₁X(nT−T) + a₂X(nT−2T) + b₁X₁(nT−T) + b₂X₁(nT−2T)；系数由滤波器类型/阶数、采样率、截止频率决定（式 2.19，Butterworth 或临界阻尼）。
- 系数只取决于 fs/fc 比值：60 Hz 相机 + 6 Hz 截止（比值 10）的二阶 Butterworth 系数为 a₀=0.067455, a₁=0.13491, a₂=0.067455, b₁=1.14298, b₂=−0.41280（全部系数代数和 = 1.0）；EMG 2000 Hz 采、400 Hz 截止与视频 30 Hz 采、6 Hz 截止可用同一组系数。
- 多次通过（passes）与相位消除问题留待第 3 章（M19）。
(e) 傅里叶重构的局限（2.2.4.5）：用 9 次谐波重构步行足跟垂直轨迹，与原始曲线可见差异，足以造成后续分析误差——根源正是系数为全程平均，而足部标记点摆动期高频、支撑期低频，不满足”各谐波全程恒定”的假设。
(f) 白噪声的 FFT（2.2.4.6）：白噪声频谱在直到 fs/2 的全频段平坦——这是把高频平坦成分判为噪声的依据。
3. Physical Meaning 物理意义
- 相关 = 时间结构探测器：自相关回答”信号有没有节奏、节奏多快”；互相关回答”两个事件谁先谁后、延迟多少”。二者都把”时间”这个维度变成可计算的变量。
- 频谱 = 信号的频率指纹：任何波形的复杂形状都可视为若干正弦成分的叠加；频率是独立于时间波形的另一套坐标系（时域 ↔ 频域）。
- 采样定理的物理图像：每个正弦周期至少要 2 个点才能”认出”它——少于 2 点，高频信号会伪装成低频信号（混叠），且这种伪造在数据里无法事后识别。
- 滤波的物理代价：滤波器在频域是乘法——输出谱 = 输入谱 × 滤波器响应。信号与噪声谱重叠的部分，去噪必然伤信号，这是信息论级别的不可兼得。
- 白噪声两头像：时域上任意点互不相关（自相关是脉冲），频域上能量平坦分布——两端互为傅里叶变换，这也是”自相关的傅里叶变换 = 功率谱密度”（性质 4）的直接体现。
4. Human Movement Meaning 人体运动意义
- 步态是天然周期信号：基频由步频决定，谐波结构稳定（99.7% 功率 < 7 次谐波），因此循环相关、低通 6 Hz、24–50 Hz 采样成为步态实验室的默认配置。
- “自上而下”的平衡预策略（2.1.8.2，全章最漂亮的临床案例）：步行中椎旁肌从 C7 到 L4 的 EMG 互相关显示，上位肌肉比 L4 提前约 70 ms 激活——先稳头、再稳颈、胸、腰。效果：头部 A/P 加速度（0.48 m/s²）远低于髋部（1.91 m/s²）。健康老年人该策略退化：头/髋加速度比老人 41.9% vs 青年 22.7%（Wieman, 1991, p < 0.02）——互相关把一个平衡控制策略变成了 70 ms 这个可测量的数字。
- 协同/共激活量化（2.1.8.3）：互相关可区分主动肌-拮抗肌的共激活（同相）与协同（反相）模式，如长时间站立任务中左右臀中肌的配合（Nelson-Wong et al., 2008，详见第 11 章）。
- 表面 EMG 串扰（2.1.8.1）：邻近电极会录到非目标肌肉的信号，互相关量化两通道的共有成分即串扰程度（详见第 9 章 9.2.5）。
- 工频干扰检测（2.1.7）：肉眼看不出的 60 Hz 电磁干扰，在 EMG 自相关上现出周期约 17 ms 的正弦形——相关分析是实验室质量控制的常规武器。
5. How It Is Measured 如何测量/实现
- 相关分析流程：采集 → 去均值（必须！）→ 选定 τ 范围（决定可用点数 N）→ 逐 τ 计算式 2.8/2.9 → 得相关曲线 → 读峰值位置（延迟）、首过零点（平均频率）、周期性（隐藏节奏）。
- 频谱分析流程：确定记录长度（由最低频率定）→ 确定采样率（≥2×最高频率，且数据长度取 2 的幂）→ A/D 转换 → FFT → 得幅值/功率谱 → 据此设滤波器 fc。
- 滤波实现：按 fs/fc 比值查/算 Butterworth 系数（式 2.19）→ 递归差分方程（式 2.18）逐点处理；运动学数据需双向滤波消相位（第 3 章展开）。
- 实验室默认参数（步行）：采样 24–60 Hz，低通 fc ≈ 6 Hz，记录 ≥ 数个完整步态周期；安静站立平衡研究记录 ≥ 60 s。
6. Typical Applications 典型应用
| 场景 | 工具 | 输出 |
|---|---|---|
| EMG 工频干扰质检 | 自相关 | 60 Hz 周期成分（17 ms）是否可见 |
| 神经/肌肉传导速度 | 互相关峰值延迟 | V = d/t |
| 步行平衡控制策略 | 多节段椎旁肌 EMG 互相关 | 各节段相对 L4 的提前量（top-down 时序图） |
| 肌间协同/共激活 | 互相关符号与峰值 | 同相（共激活）vs 反相（交替协同） |
| 表面 EMG 串扰评估 | 互相关 | 串扰成分占比 |
| 采样率设计 | 频谱 + 采样定理 + 最终分析目标 | fs 下限与帧率选择 |
| 滤波器设计 | 谐波分析（信号/噪声谱分离点） | fc 与滤波器系数 |
| 跌倒风险/平衡研究 | COM-COP 频谱 | 低频主成分、记录长度要求 |
7. Clinical Relevance 临床相关性
- 老年人跌倒风险的机制线索：top-down 预策略丢失（头/髋加速度比 22.7% → 41.9%）提示老年平衡障碍不只是”肌肉变弱”，而是前馈时序退化——康复应针对激活时序而非仅力量。
- 频谱决策影响诊断效度：对平衡障碍患者，“站不满 1 分钟”本身就是记录长度与可靠性的临床矛盾，解读其 COP 频谱时必须标注记录时长。
- EMG 解释前必过两道质检：自相关查工频干扰、互相关查串扰——否则”肌肉激活异常”可能只是设备伪迹。这正是 M16_测量描述分析评估分层 中”分析前数据必须校准去噪”的具体化。
- 病理步态的数据处理沿用正常参数需论证：慢速病理步态基频更低，6 Hz 截止与 24 fps 的合理性应重新核对谐波分布。
8. Performance Relevance 表现相关性
- 快速运动是采样率的重灾区：短跑、投掷的高速环节（足、手）加速度大、频率高，24 fps 会严重混叠；技术诊断级分析需 200 Hz 以上的光学系统（衔接 M19）。
- 傅里叶重构的警告对技术分析直接相关：用少量谐波重构的”平滑”动作曲线可能抹掉摆动期的高频细节——而峰值加速度、峰值力矩恰恰是表现与损伤评估最关注的量。
- 互相关时序 = 技术协调性的量化：运动项目中”哪块肌肉先启动”（如投掷的髋-肩-肘近远时序）与椎旁肌 top-down 案例同构，可用同一套互相关方法量化动力链时序。
9. Possible Interpretations 可能的解释层级
| 观察 | Level B（描述层） | Level C（机制层解释） | Level D（常见误读） |
|---|---|---|---|
| 两肌肉 EMG 互相关峰值在 τ = +70 ms | 一肌比另一肌早激活约 70 ms | 可能反映前馈控制时序（需多节段/多条件重复验证） | “早激活的肌肉是’主导’肌肉”——时序≠因果地位 |
| 自相关呈 17 ms 周期波动 | 信号含 60 Hz 周期成分 | 大概率为工频电磁干扰（结合实验环境判断） | “肌肉有 60 Hz 节律性放电” |
| 足尖轨迹 8 次谐波以上仍有幅值 | 存在高频成分 | 对照白噪声谱特征判断为噪声（设备+数字化误差） | “高频成分=动作细节”，不做谱分析就提高采样率 |
| 患者 COP 频谱低频能量异常 | 与正常谱形态不同 | 需排除记录时长不足、站姿策略改变等混杂 | 直接归因于”平衡功能差” |
| 滤波后峰值力矩下降 | 峰值被平滑 | fc 偏低造成信号失真，或原始峰值本就是噪声 | ”滤波后更干净=更准确” |
10. What It Cannot Tell Us 这些工具不能告诉我们什么
- 相关 ≠ 因果：互相关给出时序与相似度，不证明驱动关系；70 ms 提前量是策略的证据，不是神经通路的证明。
- 频谱丢失时间定位：傅里叶系数是全程平均，无法回答”某个频率成分什么时候出现”（时频分析如小波超出本章范围）。
- 混叠无法事后修复：欠采样产生的假频率与原数据不可区分——采样定理只能在采集时遵守。
- 滤波不能创造信息：去噪以牺牲重叠频段的真实成分为代价；fc 的选择是判断，不是定理。
- 相位信息在自相关中丢失（性质 3）：自相关能看出”有什么节奏”，看不出”节奏在波形中的位置”。
11. Related Metrics 相关概念与双链
- M16_测量描述分析评估分层：本章是”分析前数据须校准、去噪、去伪迹”的技术实现层。
- M18_集合平均与归一化（下一模块）：相关与频谱都要求数据段有意义，集合平均进一步解决”多次重复动作如何合成一条代表曲线”。
- M19_运动学测量系统对比：本章的采样率/滤波结论将在运动学系统实操中落地（双向滤波消相位、微分放大噪声）。
- M14_定性解剖学分析法：互相关量化共激活/协同，正是把定性分析中”主-拮抗肌配合”判断升级为定量指标的路径。
- 支撑力矩与协同（M16）：共激活/协同的互相关量化是其信号层工具。
- Bahr/Krosshaug 机制推理（M27–M28）：损伤机制研究中的”事件时序”（如落地到峰值力矩的延迟）依赖本章的时序测量概念。
12. Evidence 证据
- Winter 5th ed., Chapter 2, 2.0–2.2（书页 8–28）：式 2.1–2.19 全部公式与推导；自相关四性质、互相关三性质；Figure 2.3–2.5（正弦/白噪声自相关、传导速度范式）；Figure 2.6（EMG 60 Hz 工频检测）；Figure 2.7–2.8（椎旁肌 top-down 时序）；Figure 2.12–2.14（混叠示意、50 vs 25 Hz 足部加速度与髋力矩对比）；Figure 2.15（安静站立 COM/COP 频谱）；Figure 2.16（信号-噪声-滤波器谱关系）；Figure 2.17（足尖 20 人谐波分析，99.7% 功率 < 7 次谐波）；Figure 2.18–2.19（傅里叶重构局限、白噪声 FFT 平坦谱）。
- 章内引用：Cooley & Tukey (1965) FFT；Winter et al. (1974) 步行谐波分析；Winter (1982) 步态低频特性；Prince et al. (1994) 椎旁肌时序；Wieman (1991) 老年平衡策略；Bobet & Norman (1990) 肌肉传递函数；Nelson-Wong et al. (2008) 共激活；Carpenter et al. (2001) 站立记录时长；Gage et al. (2004) 倒摆模型。
- [补充说明] 现代实现中 NumPy
correlate/fft、SciPybutter/filtfilt已封装本章全部算法，但参数选择（τ 范围、记录长度、fs/fc）仍需本章的概念判断。
13. My Understanding 我的理解
- 本章是”数据配不配进分析”的守门员：M16 说分析前数据必须干净，本章给出”干净”的可操作定义——采样不混叠、长度盖住最低频率、滤波不伤信号、均值偏置已去除。本系统 Metric Dictionary 的每个指标都应记录这四项处理参数，否则指标间不可比。
- 互相关是机制推理的第一件定量武器：把”谁先谁后”变成毫秒级数字（top-down 70 ms），机制假设才有可证伪的形式。老年平衡案例是”运动数据 → 机制假设”的完美范本，直接呼应项目目标。
- 采样率决策的”最终目标原则”最重要：25 Hz 的足部加速度误差传到髋力矩后消失——误差是否可接受取决于下游变量对该环节的敏感度。这提示 Squat MVP 的采集配置应由”要算哪些指标”反推，而非盲目追高参数。
- 傅里叶系数是平均值这一条最容易被忽视：它对”用少量谐波平滑/重构动作曲线”的做法判了缓刑——凡涉及时变结构的信号（足部摆动期高频），全程平稳假设不成立。本项目处理深蹲这类非周期动作时，应优先时域方法而非谐波重构。
- fs/fc 比值决定滤波器系数是极佳的工程记忆点：同一个 6 Hz 截止经验值不能跨采样率照搬，但比值可迁移——写进数据处理规范能避免一类低级错误。
模块自测（附参考答案）
Q1. 自相关与互相关在定义上有何异同？为什么计算前必须去除信号均值？
参考答案：同：都是皮尔逊相关在时间序列上的推广，输出随相移 τ 变化的相关曲线，归一化到 −1∼+1。异：自相关是信号与自身比较（偶函数、峰值在 τ=0），互相关是两个独立信号比较（非偶函数、峰值位置指示时间延迟）。去均值原因：直流偏置会在互相关中引入 m₁·m₂ 常数项，严重夸大峰值，造成假相关。
Q2.（计算）患者步行 105 步/分，其步态基频是多少？若做频谱分析，记录长度至少应覆盖什么？
参考答案：步频 = 105/60 = 1.75 步/秒；一个步态周期含 2 步，故步态周期频率（基频）= 0.875 Hz。记录长度由最低频率决定，至少覆盖数个完整步态周期（≥ 2–3 秒），周期运动还需保证周期截取或用循环相关。
Q3.（计算）某信号最高有效频率为 12 Hz，最低采样率是多少？若用 20 Hz 采样会发生什么？
参考答案：采样定理要求 fs ≥ 2×12 = 24 Hz。用 20 Hz 采样违反定理，12 Hz 成分将产生混叠：伪装成 20−12 = 8 Hz 的假频率出现在数据中，且事后无法与真实 8 Hz 成分区分。
Q4.（计算）采集了 1500 个数据点要做 FFT，实际可用多少点？浪费了什么？正确做法是什么？
参考答案：FFT 要求数据长度为 2 的幂，1500 以内最大 2 的幂是 1024，故只能用 1024 点，浪费 476 点。正确做法：采集前按 2 的幂设计记录长度（如 2048 点），从源头避免浪费。
Q5.（计算）某 EMG 自相关函数的第一个过零点在 τ = 4 ms，估计其平均频率。
参考答案：首过零点约在 1/4 周期处，故平均周期 ≈ 4×4 = 16 ms，平均频率 ≈ 1/0.016 = 62.5 Hz。
Q6.（计算）在相距 d = 90 mm 的两个表面电极记录到同一肌肉信号，互相关峰值位于 τ = 6 ms，求信号传导速度。
参考答案：V = d/t = 0.09 m / 0.006 s = 15 m/s。
Q7. 已知 60 Hz 采样、6 Hz 截止的二阶 Butterworth 低通滤波器系数为 a₀=0.067455, a₁=0.13491, a₂=0.067455, b₁=1.14298, b₂=−0.41280。若改用 120 Hz 相机、希望截止 12 Hz，能否沿用这组系数？为什么？
参考答案：能。滤波器系数只取决于 fs/fc 比值（及滤波器类型与阶数）。120/12 = 10，与 60/6 = 10 相同，故系数完全相同。同理 EMG 2000 Hz 采、400 Hz 截止也适用。
Q8. 青年人步行时椎旁肌 C7 比 L4 提前约 70 ms 激活，头/髋 A/P 加速度比为 22.7%；健康老人该比值升至 41.9%。这一系列数据说明了什么机制？对老年康复有何提示？
参考答案：青年存在”自上而下”的前馈平衡策略：先稳定头部，再依次稳定颈、胸、腰，使头部加速度（0.48 m/s²）远低于髋部（1.91 m/s²）。老人该策略退化（头/髋加速度比显著升高），椎旁肌激活时序紊乱。提示：老年防跌倒康复除力量训练外，应针对躯干肌前馈激活时序进行再训练；且互相关时序可作为该策略的客观监测指标。
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